Aslen Trabzon'un Şalpazarı ilçesinden olan Aziz Yıldırım, Eskişehir'in Sivrihisar ilçesinde doğmuştur. İstanbul Üniversitesi Siyasal Bilgiler Fakültesinden 1985 yılında mezun olmuş, 1988 yılında Gazi Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsünde Kamu Yönetimi alanındaki yüksek lisans eğitimini tamamlayarak "Kamu Yönetimi Uzmanı" unvanını almıştır. İleri düzeyde İngilizce bilmektedir.

Kamu yönetiminde uzun yıllara dayanan deneyimi boyunca kaymakamlık, vali yardımcılığı, daire başkanlığı, genel müdürlük, müsteşar yardımcılığı ve valilik görevlerinde bulunmuştur.

1999 yılından bu yana afet yönetimi alanında aktif çalışmalar yürütmektedir. Marmara, Düzce, Çay-Sultandağı, Van ve Kahramanmaraş depremleri başta olmak üzere Türkiye'nin birçok büyük afetinde yönetici ve koordinatör olarak sahada görev almış; orman yangınları ile sel ve heyelan afetlerinin yönetiminde de aktif sorumluluk üstlenmiştir. 2003-2008 yılları arasında Japonya Uluslararası İşbirliği Ajansı (JICA) ile yakın iş birliği içinde çalışmış, Türkiye ve Japonya'da afet yönetimi eğitimlerine katılmış ve eğitimler vermiştir.

Sosyal yardım sistemlerinin geliştirilmesi alanında önemli çalışmalara imza atan Aziz Yıldırım, Başbakanlık Sosyal Yardımlaşma ve Dayanışma Genel Müdürlüğü döneminde SOYBİS (Sosyal Yardım Bilgi Sistemi) ve devamında geliştirilen Bütünleşik Sosyal Yardım Hizmetleri Sistemi'nin kurulmasına liderlik etmiş; sosyal yardımların ortak kriterlerle tek çatı altında yürütülmesini sağlayan yapının oluşturulmasına katkı sunmuştur. 2011 yılında Türkiye'nin ilk sosyal yardım taramasını Karabük'te gerçekleştirmiştir.

2011 yılında Aile ve Sosyal Hizmetler Bakanlığının kurulmasının ardından “Zorunlu Sağlık Sigortası Sistemi”nin kısa sürede hayata geçirilmesi sürecini yönetmiş; bu sistem 1 Ocak 2012 tarihinde uygulamaya alınmıştır. Ayrıca 2009 yılında düzenlenen Uluslararası Yoksullukla Mücadele Sempozyumu' nun organizasyonuna öncülük ederek sosyal politika alanındaki uluslararası bilgi paylaşımına katkı sağlamıştır.

Kaymakamlığı esnasında başarılı çalışmaları nedeniyle valileri tarafından üç kez "Yılın İdarecisi Ödülü"ne aday gösterilen Aziz Yıldırım, 1990-1991 yıllarında İngiltere' de eğitim almıştır.

Evli ve iki çocuk babasıdır.